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(1998年试题,十二)已知线性方程组 (I)的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22.…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T.试写出线性方程组 (Ⅱ)的通解,并说明理由.
(1998年试题,十二)已知线性方程组 (I)的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22.…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T.试写出线性方程组 (Ⅱ)的通解,并说明理由.
admin
2013-12-27
60
问题
(1998年试题,十二)已知线性方程组
(I)
的一个基础解系为(b
11
,b
12
,…,b
1,2n
)
T
,(b
21
,b
22
.…,b
2,2n
)
T
,…,(b
n1
,b
n2
,…,b
n,2n
)
T
.试写出线性方程组
(Ⅱ)
的通解,并说明理由.
选项
答案
对方程组(I),引入如下记号α
i
=(α
i1
,α
i2
,…,α
i,2n
)(i=1,2,…,n)则其系数矩阵[*]同样对方程组(Ⅱ)引入记号b
i
=(b
i1
,b
i2
,…,b
i,2n
)(i=1,2,…,n),相应的系数矩阵则[*](I).(Ⅱ)的矩阵形式为Ax=0及By=0.根据题设b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
是(I)的一个基础解系,即A(b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
)=(0,0,…,0),写成矩阵形式为AB
T
=0从而(AB
T
)
T
=BA
T
=0即B(α
1
T
,α
2
T
,…,α
n
T
)=(0,0,…,0),因此α
1
T
,α
2
T
,…,α
n
T
是(Ⅱ)的n个解向量.下面判断这n个解向量是否构成(Ⅱ)的基础解系,这一点需要利用秩的概念和性质.由已知b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
是(I)的基础解系,则n=2n—rA,从而rA=n,因此A的n个行向量α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,因此α
1
T
,α
2
T
,…,α
n
T
是(Ⅱ)的n个线性无关解向量,同时b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
线性无关,因此B的n个行向量也线性无关,从而rB=n,则有2n—rB=n,即(Ⅱ)的解空间的维数也为n,综上,α
1
T
,α
2
T
,…,α
n
T
就是(Ⅱ)的一个基础解系,因此不难得到(Ⅱ)的通解为y=λ
1
α
1
T
+λ
2
α
2
T
+…+λ
n
α
n
T
,其中λ
i
(i=1,2,…,n)为任意常数.
解析
欲证明k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
是Ax=0的通解,则须证明:(1)α
1
,α
2
……α
s
是Ax=0的解;(2)α
1
,α
2
……α
s
线性无关;(3)s=n—rA,即方程组的任意解均可由向量组α
1
,α
2
……α
s
线性表示.
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