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  3. (1998年试题，十二)已知线性方程组 (I)的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22．…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组 (Ⅱ)的通解，并说明理由．

(1998年试题，十二)已知线性方程组 (I)的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22．…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组 (Ⅱ)的通解，并说明理由．

admin2013-12-27  36
问题 (1998年试题，十二)已知线性方程组
(I)的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22．…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组
(Ⅱ)的通解，并说明理由．
选项
答案对方程组(I)，引入如下记号αi=(αi1，αi2，…，αi,2n)(i=1，2，…，n)则其系数矩阵[*]同样对方程组(Ⅱ)引入记号bi=(bi1,bi2，…，bi,2n)(i=1，2，…，n)，相应的系数矩阵则[*](I)．(Ⅱ)的矩阵形式为Ax=0及By=0．根据题设b1T，b2T，…，bnT是(I)的一个基础解系，即A(b1T，b2T，…，bnT)=(0，0，…，0)，写成矩阵形式为ABT=0从而(ABT)T=BAT=0即B(α1T，α2T，…，αnT)=(0，0，…，0)，因此α1T，α2T，…，αnT是(Ⅱ)的n个解向量．下面判断这n个解向量是否构成(Ⅱ)的基础解系，这一点需要利用秩的概念和性质．由已知b1T，b2T，…，bnT是(I)的基础解系，则n=2n—rA，从而rA=n，因此A的n个行向量α1，α2，…，αn线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT是(Ⅱ)的n个线性无关解向量，同时b1T，b2T，…，bnT线性无关，因此B的n个行向量也线性无关，从而rB=n，则有2n—rB=n，即(Ⅱ)的解空间的维数也为n，综上，α1T，α2T，…，αnT就是(Ⅱ)的一个基础解系，因此不难得到(Ⅱ)的通解为y=λ1α1T+λ2α2T+…+λnαnT，其中λi(i=1，2，…，n)为任意常数．
解析 欲证明k1α1+k2α2+…+ksαs是Ax=0的通解，则须证明：(1)α1，α2……αs是Ax=0的解；(2)α1，α2……αs线性无关；(3)s=n—rA，即方程组的任意解均可由向量组α1，α2……αs线性表示．
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