(1998年试题，十二)已知线性方程组 (I)的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22．…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组 (Ⅱ)的通解，并说明理由．

admin2013-12-27 54

问题 (1998年试题，十二)已知线性方程组
(I)

的一个基础解系为(b₁₁，b₁₂，…，b_1,2n)^T，(b₂₁，b₂₂．…，b_2,2n)^T，…，(b_n1,b_n2，…，b_n,2n)^T．试写出线性方程组
(Ⅱ)

的通解，并说明理由．

选项

答案对方程组(I)，引入如下记号α_i=(α_i1，α_i2，…，α_i,2n)(i=1，2，…，n)则其系数矩阵[*]同样对方程组(Ⅱ)引入记号b_i=(b_i1,b_i2，…，b_i,2n)(i=1，2，…，n)，相应的系数矩阵则[*](I)．(Ⅱ)的矩阵形式为Ax=0及By=0．根据题设b₁^T，b₂^T，…，b_n^T是(I)的一个基础解系，即A(b₁^T，b₂^T，…，b_n^T)=(0，0，…，0)，写成矩阵形式为AB^T=0从而(AB^T)^T=BA^T=0即B(α₁^T，α₂^T，…，α_n^T)=(0，0，…，0)，因此α₁^T，α₂^T，…，α_n^T是(Ⅱ)的n个解向量．下面判断这n个解向量是否构成(Ⅱ)的基础解系，这一点需要利用秩的概念和性质．由已知b₁^T，b₂^T，…，b_n^T是(I)的基础解系，则n=2n—rA，从而rA=n，因此A的n个行向量α₁，α₂，…，α_n线性无关，因此α₁^T，α₂^T，…，α_n^T是(Ⅱ)的n个线性无关解向量，同时b₁^T，b₂^T，…，b_n^T线性无关，因此B的n个行向量也线性无关，从而rB=n，则有2n—rB=n，即(Ⅱ)的解空间的维数也为n，综上，α₁^T，α₂^T，…，α_n^T就是(Ⅱ)的一个基础解系，因此不难得到(Ⅱ)的通解为y=λ₁α₁^T+λ₂α₂^T+…+λ_nα_n^T，其中λ_i(i=1，2，…，n)为任意常数．

解析欲证明k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s是Ax=0的通解，则须证明：(1)α₁，α₂……α_s是Ax=0的解；(2)α₁，α₂……α_s线性无关；(3)s=n—rA，即方程组的任意解均可由向量组α₁，α₂……α_s线性表示．

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考研数学一

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