设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足 Aa3=a2+a3, (Ⅰ)证明a1,a2,a3线性无关; (Ⅱ)令P=(a1,a2,a3),求P-1AP.

admin2013-08-02  36

问题 设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足
Aa3=a2+a3
(Ⅰ)证明a1,a2,a3线性无关;
(Ⅱ)令P=(a1,a2,a3),求P-1AP.

选项

答案(Ⅰ)假设a1,a2,a3线性相关,则a3可由a1,a2线性表出, 可设a3=k1a1+k2a2,其中k1,k2不全为0, 否则由等式Aa3=a2+a3得到a2=0,不符合题设. 因为a1,a2为矩阵A的分别属于特征值-1,1的特征向量,所以Aa1=-a1,Aa2=a2, 则Aa3=A(k1a1+k2a2)=-k1a1+k2/sub>a2=a2+k1a1k2a2. 等式中a1,a2的对应系数相等,即[*] 显然此方程组无解,故假设不成立,从而可知a1,a2,a3线性无关. (Ⅱ)因为a1,a2,a3线性无关,所以矩阵P=(a1,a2,a3)可逆, 由于AP=A(a1,a2,a3)=(-a1,a2,a2+a3)=(a1,a2,a3)[*] 等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P-1,可得P-1AP=P-1P[*]

解析
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