设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=-f(x)cotξ.

admin2022-10-12  45

问题 设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=-f(x)cotξ.

选项

答案令φ(x)=f(x)sinx,φ(0)=φ(π)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,π),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx,于是f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0,故f’(ξ)=-f(ξ)cotξ.

解析
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