若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置．则矩阵βαT的非零特征值为___________．

admin2018-08-03 32

问题若3维列向量α，β满足α^Tβ=2，其中α^T为α的转置．则矩阵βα^T的非零特征值为___________．

选项

答案2

解析由于α^Tβ=2，故β≠0，且有
(βα^T)β=β(α^Tβ)=2β，
于是由特征值与特征向量的定义，知2为方阵βα^T的一个特征值且β为对应的一个特征向量．下面还可证明方砗βα^T只有一个非零特征值．首先可证方阵βα^T的秩为1：由βα^T≠O知r(βα^T)≥1，又由r(βα^T)≤r(β)=1，知r(βα^T)=1，故0为βα^T的特征值．其次可证0为βα^T的2重特征值：由于齐次线性方程组(O一βα^T)x=0的基础解系所含向量的个数——即方阵βα^T的属于特征值0的线性无关特征向量的个数=3一r(βα^T)=3—1=2，所以0至少是βα^T的2重特征值，但不会是3重特征值(否则βα^T=0)．既然3阶方阵βα^T有2重特征值0，因此其非零特征值就只能有一个．

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考研数学一

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