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  3. 构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵

构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵

admin2018-11-20  30
问题 构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵
选项
答案(1)先求特征值 [*] A的特征值为0，2，6． 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，1，一1)T，单位化得 [*] 属于2的特征向量是齐次方程组(A一2E)X=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，一1，0)T，单位化得 [*] 属于6的特征向量是齐次方程组(A一6E)X=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，1，2)T，单位化得 [*] 作正交矩阵 Q=(γ1，γ2，γ3)，则QTAQ=Q-1AQ=[*] (2)先求特征值 |λE—A|=[*]=(λ一1)2(λ一10)． A的特征值为1，1，10． 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A—E)X=0的非零解， [*] 得(A—E)X=0的同解方程组x1+2x2—2x3=0， 显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，一1，1)T(保证了与α1的正交性!)，代入方程求出c=4，即α2=(4，一1，1)T． 令γ1=α1/‖α1‖=[*],γ2=α2/‖α2‖=[*] 再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A一10E)X=0的非零解(1，2，一2)T，令 γ3=α3／‖α3‖=(1，2，一2)T／3． 作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)． 则 QTAQ=Q-1AQ=[*]
解析
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考研数学三

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