2. 考研
  3. 设f(x)为连续函数， (1)证明：∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx； (2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=f(sinx)dx； (3)求∫0π

设f(x)为连续函数， (1)证明：∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx； (2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=f(sinx)dx； (3)求∫0π

admin2019-09-04  127
问题 设f(x)为连续函数，
(1)证明：∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx；
(2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=f(sinx)dx；
(3)求∫0π
选项
答案(1)令I=∫0πxf(sinx)dx，则 I=∫0πxf(sinx)dx[*]∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt =∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-I， 则I=∫0πxf(sinx)dx=[*]∫0πf(sinx)dx=[*]f(sinx)dx． (2)∫02πf(｜sinx｜)dx=∫-ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx =2∫0πf(sinx)dx=[*]f(sinx)dx． (3)[*]
解析
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考研数学三

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