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设f(x)在区间[0,1]上连续,在区间(0,1)内存在二阶导数,且f(0)=f(1).证明:存在ξ∈(0,1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0.
设f(x)在区间[0,1]上连续,在区间(0,1)内存在二阶导数,且f(0)=f(1).证明:存在ξ∈(0,1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0.
admin
2018-09-20
75
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在区间(0,1)内存在二阶导数,且f(0)=f(1).证明:存在ξ∈(0,1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0.
选项
答案
由f(0)=f(1)知,存在η∈(0,1)使f’(η)=0. 令F(x)=x
2
f’(x),有 F(0)=0,F(η)=η
2
f’(η)=0, 故知存在ξ∈(0,η)[*](0,1)使F’(ξ)=0. 而F’(x)=2xf’(x)+x
2
f"(x),即有 2ξf’(ξ)+ξ
2
f"(ξ)=0. 又ξ≠0,所以2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0.证毕.
解析
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考研数学三
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