2. 考研
  3. 设A，B都是对称矩阵，并且E＋AB可逆，证明(E＋AB)-1A是对称矩阵．

设A，B都是对称矩阵，并且E＋AB可逆，证明(E＋AB)-1A是对称矩阵．

admin2018-11-23  21
问题 设A，B都是对称矩阵，并且E＋AB可逆，证明(E＋AB)-1A是对称矩阵．
选项
答案(E＋AB)-1A对称，就是[(E＋AB)-1A]T＝(E＋AB)-1A． [(E＋AB)-1A]T＝A[(E＋AB)-1]T＝A[(E＋AB)T]-1＝A(E＋BA)-1． 于是要证明的是 (E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1． 对此式作恒等变形： (E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1 [*]A＝(E＋AB)A(E＋BA)-1 (用E＋AB左乘等式两边) [*]A(E＋BA)＝(E＋AB)A (用E＋BA右乘等式两边)． 等式A(E＋BA)＝(E＋AB)A．显然成立，于是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1成立．
解析
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考研数学一

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