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(2005年)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则
(2005年)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则
admin
2018-07-30
73
问题
(2005年)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A
*
,B
*
分别为A,B的伴随矩阵,则
选项
A、交换AA
*
的第1列与第2列得BA
*
.
B、交换AA
*
的第1行与第2行得BA
*
.
C、交换AA
*
的第1列与第2列得-BA
*
.
D、交换AA
*
的第1行与第2行得-BA
*
.
答案
C
解析
方法1:用排除法.以2阶方阵为例,设
则
由此可见,交换A
*
的第1列与第2列得-B
*
,而其它选项均不对.故只有(C)正确.
方法2:记P为交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵.则由题设条件有B=PA,且|B|=-|A|,P
-1
=P.由A可逆知B可逆,利用B
-1
=|B|
-1
B
-1
.得
B
*
=|B|B
-1
=-|A|(PA)
-1
=-(|A|A
-1
)P
-1
=-A
*
P
或A
*
P==-B
*
因为用P右乘矩阵A
*
,等价于交换A
*
的第1列与第2列.故知选项(C)正确.
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考研数学二
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