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设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.证明:若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数;若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.证明:若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数;若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
admin
2022-10-25
41
问题
设f(x)连续,且F(x)=∫
0
x
(x-2t)f(t)dt.证明:若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数;若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
选项
答案
设f(-x)=f(x),因为F(-x)=∫
0
-x
(-x-2t)f(t)dt,令t=-u,F(-x)=∫
0
x
(-x+2u)f(-u)(-du)=∫
0
x
(x-2u)f(u)du=F(x),所以F(x)为偶函数.F(x)=∫
0
x
(x-2t)f(t)dt=x∫
0
x
f(t)dt-2∫
0
x
tf(t)dt,F’(x)=∫
0
x
f(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)],其中ξ介于0与x之间,当x<0时,x≤ξ≤0,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0,当x≥0时,0≤ξ≤x,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0,从而F(x)单调不减.
解析
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0
考研数学三
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