设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt．证明：若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

admin2022-10-25 80

问题设f(x)连续，且F(x)=∫₀^x(x-2t)f(t)dt．证明：若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

选项

答案设f(-x)=f(x)，因为F(-x)=∫₀^-x(-x-2t)f(t)dt，令t=-u，F(-x)=∫₀^x(-x+2u)f(-u)(-du)=∫₀^x(x-2u)f(u)du=F(x)，所以F(x)为偶函数．F(x)=∫₀^x(x-2t)f(t)dt=x∫₀^xf(t)dt-2∫₀^xtf(t)dt，F’(x)=∫₀^xf(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，从而F(x)单调不减．

解析

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考研数学三

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