2. 考研
  3. 设y(x)为可导函数，且满足y(0)=2及+y(x)=∫0x2y(t)dt+ex,则y(x)=________.

设y(x)为可导函数，且满足y(0)=2及+y(x)=∫0x2y(t)dt+ex,则y(x)=________.

admin2022-03-23  67
问题 设y(x)为可导函数，且满足y(0)=2及+y(x)=∫0x2y(t)dt+ex,则y(x)=________.
选项
答案[*]
解析 由题设知y(0)=2,=－y(x)+∫0x2y(t)dt+ex,右边对x可导，所以存在，于是可推得
y"+y’－2y=ex,y’(0)=－1  (*)
按解微分方程规范步骤解之如下。
特征方程
r2+r－2=(r－1)(r+2)=0
解得特征根r1=－2，r2=1,对应的齐次方程的通解为
Y=C1e-2x+C2ex
设相应的非齐次线性微分方程的一个特解为
y*=Axex
代入（*）式可解得A=,从而y*=xex，故微分方程的通解为
y=C1e-2x+C2ex+xex
再由初始条件，y(0)=2,y’(0)=－1,可得特解.
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考研数学三

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