设y(x)为可导函数，且满足y(0)=2及+y(x)=∫0x2y(t)dt+ex,则y(x)=________.

admin2022-03-23 43

问题设y(x)为可导函数，且满足y(0)=2及

+y(x)=∫₀^x2y(t)dt+e^x,则y(x)=________.

选项

答案[*]

解析由题设知y(0)=2,

=－y(x)+∫₀^x2y(t)dt+e^x,右边对x可导，所以

存在，于是可推得
y"+y’－2y=e^x,y’(0)=－1 (*)
按解微分方程规范步骤解之如下。
特征方程
r²+r－2=(r－1)(r+2)=0
解得特征根r₁=－2，r₂=1,对应的齐次方程的通解为
Y=C₁e^-2x+C₂e^x
设相应的非齐次线性微分方程的一个特解为
y^*=Axe^x
代入（*）式可解得A=

,从而y^*=

xe^x，故微分方程的通解为
y=C₁e^-2x+C₂e^x+

xe^x
再由初始条件，y(0)=2,y’(0)=－1,可得特解

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