已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α1,α2线性无关,若α1+2α2-α3=β,α1+α2+α3+α4=β,2α1+3α2+α3+2α4=β,k1,k2为任意常数,那么Ax=β的通解为( )

admin2019-07-12  48

问题 已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α1,α2线性无关,若α1+2α23=β,α1234=β,2α1+3α23+2α4=β,k1,k2为任意常数,那么Ax=β的通解为(    )

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案B

解析 由α1+2α23=β知

即γ1=(1,2,-1,0)T是Ax=β的解.同理γ2=(1,1,1,1)T,γ3=(2,3,1,2)T也均是Ax=β的解,那么η112=(0,1,-2,-1)T,η232=(1,2,0,1)T是导出组Ax=0的解,并且它们线性无关.于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量,有n-r(A)≥2,即r(A)≤2,又因为α1,α2线性无关,有r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2.所以必有r(A)=2,从而n-r(A)=2,因此η1,η2就是Ax=0的基础解系,根据解的结构,所以应选B.
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