2. 考研
  3. 设A是一个n阶方阵，满足A2＝A，R(A)＝r，且A有两个不同的特征值． (Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵A； (Ⅱ)计算行列式｜A－2E｜．

设A是一个n阶方阵，满足A2＝A，R(A)＝r，且A有两个不同的特征值． (Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵A； (Ⅱ)计算行列式｜A－2E｜．

admin2017-11-09  46
问题 设A是一个n阶方阵，满足A2＝A，R(A)＝r，且A有两个不同的特征值．
    (Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵A；
    (Ⅱ)计算行列式｜A－2E｜．
选项
答案(Ⅰ)设λ是A的特征值，由于A2＝A，所以λ2＝λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1． 又因为A2＝A，即A(A－E)＝O，故R(A)＋R(A－E)＝n 事实上，因为A(A－E)＝O，所以 R(A)＋R(A－E)≤n 另外，由于E－A同A－E的秩相同，则有 n＝R(E)＝R[(E－A)＋A]≤R(A)＋R(E－A)＝R(A)＋R(A－E)， 从而R(A)＋R(A－E)＝n 当λ＝时，因为R(A－E)＝n－R(A)＝n－r，从而齐次线性方程组(E－A)χ＝0的基础解系含有r个解向量，因此，A属于特征值1有r个线性无关特征向量，记为η1，η2，…，ηr． 当λ＝0时，因为R(A)＝r，从而齐次线性方程组(0.E－A)χ＝0的基础解系含n－r个解向量．因此，A属于特征值0有n－r个线性无关的特征向量，记为ηr+1，ηr+2，…，ηn． 于是η1，η2，…，ηn是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为 A＝[*] (Ⅱ)令P＝(η1，η2，η3，…，ηn)，则A＝PAP-1，所以 ｜A－2E｜＝｜PAP-1－2E｜＝｜A－2E｜＝[*]＝｜－Er｜－｜－2En-r｜ ＝(－1)r(－2)n-r－(一1)n2n-r．
解析
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考研数学三

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