[2003年] 已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界，试证： esinydy—ye-sinxdx=xe-sinydy—yesinxdx； ①[img][/img]

admin2019-04-08 101

问题 [2003年] 已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界，试证：

e^sinydy—ye^-sinxdx=

xe^-sinydy—ye^sinxdx； ①[img][/img]

选项

答案直接把第二曲线积分化为定积分(见图)计算． [*] 式①的左边曲线积分=∫_L₁xe^sinydy—ye^-sinxdx+∫_L₂xe^sinydy—ye^-sinxdx+∫_L₃xe^sinydy—ye^-sinxdx+∫_L₄xe^sinydy—ye^-sinxdx．注意到L₁：y=0，dy=0；L₂：x=π，dx=0；L₃：y=π，dy=0；L₄：x=0，dx=0．于是式①的左边曲线积分=∫₀^ππe^sinydy一∫_π⁰πe^-sinxdx=π∫₀^π(e^sinx+e^-sinx)dx，同法可得式①的右边曲线积分=∫₀^ππe^-sinydy一∫_π⁰πe^sinxdx=π∫₀^π(e^-sinx+e^sinx)dx，式①得证．

解析

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考研数学一

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