[2003年] 已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π},L为D的正向边界,试证: esinydy—ye-sinxdx=xe-sinydy—yesinxdx; ①[img][/img]

admin2019-04-08  67

问题 [2003年]  已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π},L为D的正向边界,试证:
esinydy—ye-sinxdx=xe-sinydy—yesinxdx;    ①[img][/img]

选项

答案直接把第二曲线积分化为定积分(见图)计算. [*] 式①的左边曲线积分=∫L1xesinydy—ye-sinxdx+∫L2xesinydy—ye-sinxdx+∫L3xesinydy—ye-sinxdx+∫L4xesinydy—ye-sinxdx. 注意到L1:y=0,dy=0;L2:x=π,dx=0;L3:y=π,dy=0;L4:x=0,dx=0.于是 式①的左边曲线积分=∫0ππesinydy一∫π0πe-sinxdx=π∫0π(esinx+e-sinx)dx, 同法可得 式①的右边曲线积分=∫0ππe-sinydy一∫π0πesinxdx=π∫0π(e-sinx+esinx)dx, 式①得证.

解析
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