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[2003年] 已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π},L为D的正向边界,试证: esinydy—ye-sinxdx=xe-sinydy—yesinxdx; ①[img][/img]
[2003年] 已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π},L为D的正向边界,试证: esinydy—ye-sinxdx=xe-sinydy—yesinxdx; ①[img][/img]
admin
2019-04-08
55
问题
[2003年] 已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π},L为D的正向边界,试证:
e
siny
dy—ye
-sinx
dx=
xe
-siny
dy—ye
sinx
dx; ①[img][/img]
选项
答案
直接把第二曲线积分化为定积分(见图)计算. [*] 式①的左边曲线积分=∫
L
1
xe
siny
dy—ye
-sinx
dx+∫
L
2
xe
siny
dy—ye
-sinx
dx+∫
L
3
xe
siny
dy—ye
-sinx
dx+∫
L
4
xe
siny
dy—ye
-sinx
dx. 注意到L
1
:y=0,dy=0;L
2
:x=π,dx=0;L
3
:y=π,dy=0;L
4
:x=0,dx=0.于是 式①的左边曲线积分=∫
0
π
πe
siny
dy一∫
π
0
πe
-sinx
dx=π∫
0
π
(e
sinx
+e
-sinx
)dx, 同法可得 式①的右边曲线积分=∫
0
π
πe
-siny
dy一∫
π
0
πe
sinx
dx=π∫
0
π
(e
-sinx
+e
sinx
)dx, 式①得证.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kD04777K
0
考研数学一
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