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试分析下列各个结论是函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微的充分条件还是必要条件.
试分析下列各个结论是函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微的充分条件还是必要条件.
admin
2018-04-15
49
问题
试分析下列各个结论是函数z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处可微的充分条件还是必要条件.
选项
答案
结论(1)~(5)中每一个分别都是z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处可微的必要条件,而非充分条件.结论(7)是z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处可微的充分非必要条件;而结论(6)是其既非充分又非必要条件. 因z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处可微,故z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处连续,即[*]=f(x
0
,y
0
),则极限[*]f(x,y)必存在,于是z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)某邻域有界. 结论(3)表示一元函数F(x)=f(x,y
0
)在x
0
处连续,G(y)=f(x
0
,y)在y
0
处连续,它是二元函数z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处连续的必要条件,而非充分条件.而z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处连续又是其可微的必要条件,且非充分条件. 只要在z=f(x,y)在P
0
(x
0
,y
0
)的全微分定义△z=A△x+B△y+o(ρ),ρ=[*]中取特殊情况,分别令△y=0与位△x0即证得结论(4). 因为由函数z=f(x,y)在(x
0
,y
0
)处可微知,f’
x
(x
0
,y
0
)与f’
y
(x
0
,y
0
)都存在,故曲面f(x,y)=z=0在(x
0
,y
0
,f(x
0
,y
0
))处法向量n=f’
x
(x
0
,y
0
)i+f’
y
(x
0
,y
0
)j-k不是零向量.于是结论(5)成立. 结论(6)的[*][f’
x
(x,y
0
)-f’
x
(x
0
,y
0
)]=0表示偏导函数f’
x
(x,y)在y=y
0
时的一元函数f’
x
(x,y
0
)在x
0
处连续,它仅是二元偏导函数f’
x
(x
0
,y
0
)在P
0
(x
0
,y
0
)处连续的一个必要条件,对[*][f’
y
(x
0
,y)-f’
y
(x
0
,y
0
)]=0有类似的结果.而z=f(x,y)在P
0
(x
0
,y
0
)处可微又是f’
x
(x,y),f’
y
(x,y)在P
0
(x
0
,y
0
)处连续的另一个必要条件,所以结论(6)既不是充分条件又不是必要条件. 结论(7)的等价形式是△x=f(x,y)-f(x
0
,y
0
)=o(ρ),ρ=[*],它是相应全微分定义中A=0,B=0的情形,则结论(7)是其可微的充分非必要条件.
解析
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0
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