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试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．

admin2018-04-15  77
问题 试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．
选项
答案结论(1)～(5)中每一个分别都是z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的必要条件，而非充分条件．结论(7)是z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分非必要条件；而结论(6)是其既非充分又非必要条件． 因z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微，故z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续，即[*]=f(x0，y0)，则极限[*]f(x，y)必存在，于是z=f(x，y)在点P0(x0，y0)某邻域有界． 结论(3)表示一元函数F(x)=f(x，y0)在x0处连续，G(y)=f(x0，y)在y0处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续的必要条件，而非充分条件．而z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件． 只要在z=f(x，y)在P0(x0，y0)的全微分定义△z=A△x+B△y+o(ρ)，ρ=[*]中取特殊情况，分别令△y=0与位△x0即证得结论(4)． 因为由函数z=f(x，y)在(x0，y0)处可微知，f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，故曲面f(x，y)=z=0在(x0，y0，f(x0，y0))处法向量n=f’x(x0，y0)i+f’y(x0，y0)j-k不是零向量．于是结论(5)成立． 结论(6)的[*][f’x(x，y0)-f’x(x0，y0)]=0表示偏导函数f’x(x，y)在y=y0时的一元函数f’x(x，y0)在x0处连续，它仅是二元偏导函数f’x(x0，y0)在P0(x0，y0)处连续的一个必要条件，对[*][f’y(x0，y)-f’y(x0，y0)]=0有类似的结果．而z=f(x，y)在P0(x0，y0)处可微又是f’x(x，y)，f’y(x，y)在P0(x0，y0)处连续的另一个必要条件，所以结论(6)既不是充分条件又不是必要条件． 结论(7)的等价形式是△x=f(x，y)-f(x0，y0)=o(ρ)，ρ=[*]，它是相应全微分定义中A=0，B=0的情形，则结论(7)是其可微的充分非必要条件．
解析
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