首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
admin
2018-05-25
100
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
. 设η
0
为方程组AX=b的一个特解, 令β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
1
,β
2
=ξ
2
+η
2
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
为方程组AX=b的一组解. 令k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
n-r
β
n-r
=0,即 (k
1
,k
2
,…,k
n-r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 上式两边左乘A得(k
1
,k
2
,…,k
n-r
)b=0, 因为b为非零列向量,所以k
1
,k
2
,…,k
n-r
=0,于是k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,注意到ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0,故β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
线性无关,即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组.设β
1
,β
2
,…,β
n-r+2
为方程组AX=b的一组线性无关解,令γ
1
=β
3
-β
1
,γ
2
=β
3
-β
1
,…,γ
n-r+1
=β
n-r+2
-β
1
,根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
线性无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的,所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kEW4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足关系式fˊ(x)=f(x),且f(0)=1.证明:f(x)=ex.
微分方程yˊ+ytanx=cosx的通解为y=_________.
设线性无关的函数y1(x),y2(x),y3(x)均是方程yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的解C1,C2是任意常数,则该方程的通解是()
设X与Y为具有二阶矩的随机变量,且设Q(a,b)=E[y-(a+bX)]2,求a,b使Q(a,b)达到最小值Qmin,并证明:
已知α1=[1,2,-3,1]T,α2=[5,-5,a,11]T,α3=[1,-3,6,3]T,α4=[2,-1,3,a]T.问:(1)a为何值时,向量组α1,α2,α3,α4线性相关;(2)a为何值时,向量组α1,α2,α3,α4线性无关;(3)a
设向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关,且β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1.讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
已知α1=[1,-1,1]T,α2=[1,t,-1]T,α3=[t,1,2]T,β=[4,t2,-4]T,若β可由α1,α2,α3线性表示,且表示法不唯一,求t及β的表达式.
已知B是n阶矩阵,满足B2=E(此时矩阵B称为对合矩阵).求B的特征值的取值范围.
已知矩阵相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.
设三元线性方程组有通解求原方程组.
随机试题
冷藏保存电解质分析的标本,会引起
诊断子宫内膜癌,常用的检查方法有
能引起急性胰腺炎的药物是
企业注册资本金300万元以上,企业净资产()万元以上,是三级机电设备安装工程专业承包企业资质标准的条件之一。
消防应急灯具是为人员疏散、灭火救援提供帮助的各类灯具,其包括()。
根据《企业会计准则第7号——非货币性资产交换》的规定,下列项目中,不属于货币性资产的有()。
国家统计局公布的《2011年城乡居民收入增长情况》称,通过对全国31个省(自治区、直辖市)7.4万户农村居民家庭和6.6万户城镇居民家庭进行抽样调查,2011,年全国农村居民人均纯收入6977元,比上年增加1058元,剔除价格因素影响,实际增长11.4
《资治通鉴》成书于()。
建国初期,随着全国土地改革的基本完成,国内的主要矛盾是
在ServerA的IPSec安全策略配置过程中,ServerA和ServerB-之间通信的IPSec筛选器“许可”属性设置为“协商安全”,并且安全措施为“加密并保持完整性”,如图4-4所示。根据上述安全策略填写图4-5中的空格,表示完整的IPSec数据包格
最新回复
(
0
)