设向量β可由向量组α1,α2,...,αm线性表示,但不能由向量组(I):α1,α2,...,αm-1, 线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,...,αm-1,β,则

admin2019-05-15  24

问题 设向量β可由向量组α1,α2,...,αm线性表示,但不能由向量组(I):α1,α2,...,αm-1,
线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,...,αm-1,β,则

选项 A、αm不能由(I)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
B、αm不能由(I)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示.
C、αm可由(I)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示.
D、αm可由(I)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示.

答案B

解析 因为β可由α1,α2,...,αm线性表示,故可设
    β=k1α1,k2α2,...,kmαm
    由于β不能由α1,α2,...,αm-1线性表示,故上述表达式中必有km≠0.因此
    αm=1/km(β-k1α1-k2α2-…-km-1αm-1).
即αm可由(Ⅱ)线性表示,可排除(A)、(D).
    若αm可由(I)线性表示,设αm=l1α1+…+lm-1αm-1,则
    β=(k1+kml11+(k2+kml22+…+(km-1+kmlm-1m-1
与题设矛盾,故应选(B).
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