(2002年)(1)验证函数满足微分方程 y"+y’+y=ex (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

admin2018-07-01 52

问题 (2002年)(1)验证函数

满足微分方程
y"+y’+y=e^x
(2)利用(1)的结果求幂级数

的和函数．

选项

答案(1)因为 [*] 所以 y"+y’+y=e^x (2)与y"+y’+y=e^x相应的齐次方程为 y"+y’+y=0 其特征方程为 λ²+λ+1=0 特征根为[*]因此齐次微分方程的通解为 [*] 设非齐次微分方程的特解为 y^*=Ae^x 代入原方程得[*]于是 [*] 原方程通解为 [*] 当x=0时，有 [*] 由此，得[*]C₂=0 于是幂级数[*]的和函数为 [*]

解析

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考研数学一

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设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．
设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．
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