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(2005年)没F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有
(2005年)没F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有
admin
2018-07-01
58
问题
(2005年)没F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“M
N”表示“M的充分必要条件是N”,则必有
选项
A、F(x)是偶函数
f(x)是奇函数.
B、F(x)是奇函数
f(x)是偶函数.
C、F(x)是周期函数
f(x)是周期函数.
D、F(x)是单调函数
f(x)是单调奇函数.
答案
A
解析
解1 直接法 若F(x)是连续函数f(x)的原函数,且(x)是偶函数.则F(-x)=F(x),式两端对x求导得
一F’(x)=F(x)
即 一f(一x)=f(x)
故 f(x)为奇函数.
反之,若f(x)为奇函数,则
是f(x)的一个原函数.又
则G(x)是偶函数,由于F(x)也是f(x)的原函数.则
F(x)=G(x)+C
F(x)亦是偶函数,故应选(A).
解2 排除法 令f(x)=cosx,F(x)=sinx+1.显然f(x)是偶函数.但F(x)不是奇函数.所以(B)不正确;
令F(x)=sinx+x,f(x)=cosx+1.显然f(x)是周期函数.但F(x)不是周期函数.故C不正确;
令F(x)=x
2
,f(x)=2x显然f(x)是单调函数,但F(x)不是单调函数,则(D)不正确.故应选(A).
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