设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)． (I)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积； (Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．

admin2019-02-20 63

问题设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．
(I)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；
(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．

选项

答案设抛物线的方程为 y=a(x－1)(x－3)，其中常数a≠0．不妨设a＞0，如图3．13(当a＜0时，其图形与a＞0时的图形关于x轴对称．)． [*] (I)此抛物线与两坐标轴围成图形的面积 [*] 此抛物线与x轴围成图形的面积 [*] 从而，由计算结果知S₁=S₂． (Ⅱ)上述两平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积分别为 [*] 从而，两者体积之比V₁：V₂=19：8．

解析

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考研数学三

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设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)． (I)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积； (Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．

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