设一抛物线过x轴上两点(1,0)与(3,0). (I)求证:此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积; (Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比.

admin2019-02-20  26

问题 设一抛物线过x轴上两点(1,0)与(3,0).
    (I)求证:此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积;
    (Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比.

选项

答案设抛物线的方程为 y=a(x-1)(x-3),其中常数a≠0.不妨设a>0,如图3.13(当a<0时,其图形与a>0时的图形关于x轴对称.). [*] (I)此抛物线与两坐标轴围成图形的面积 [*] 此抛物线与x轴围成图形的面积 [*] 从而,由计算结果知S1=S2. (Ⅱ)上述两平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积分别为 [*] 从而,两者体积之比V1:V2=19:8.

解析
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