设f(x)为[-a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)= (Ⅰ)证明F’(x)单调增加； (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值； (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2-1时，求函数f(x)。

admin2017-01-14 54

问题设f(x)为[-a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=

(Ⅰ)证明F’(x)单调增加；
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值；
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a²-1时，求函数f(x)。

选项

答案(Ⅰ) [*] 所以F’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)单调增加。 (Ⅱ)因为F’(0)=[*]且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F’’(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小值点，也为最小值点。 (Ⅲ)由[*]=f(a)-a²-1，两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a，于是 f’(x)-2xf(x)=2x，解得 f(x)=[∫2xe^-∫2xdxdx+C]e^-∫-2xdx=[*] 在[*]=f(a)-a²-1中令a=0，得f(0)=1，则C=2，于是 [*]

解析

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考研数学一

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