设f(x)在[1,+∞)上连续且可导,若曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V(t)=[t2f(t)—f(1)],且f(2)=,求函数y=f(x)的表达式.

admin2021-05-19  29

问题 设f(x)在[1,+∞)上连续且可导,若曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为   V(t)=[t2f(t)—f(1)],且f(2)=,求函数y=f(x)的表达式.

选项

答案由旋转体的体积公式得V(t)=[*] 由已知条件得[*][t2f(t)一f(1)],即[*]=t2f(t)一f(1), 等式两边对t求导得3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t), 于是有x2y’=3y2一2xy,变形得[*] 令[*]=3u(u一1),分离变量并两边积分得[*]=Cx3,即y—x=Cx3y, 由f(2)=[*]得C=一1,故f(x)=[*]

解析
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