2. 考研
  3. 设f(x)在[1，+∞)上连续且可导，若曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V(t)=[t2f(t)—f(1)]，且f(2)=，求函数y=f(x)的表达式．

设f(x)在[1，+∞)上连续且可导，若曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V(t)=[t2f(t)—f(1)]，且f(2)=，求函数y=f(x)的表达式．

admin2021-05-19  21
问题 设f(x)在[1，+∞)上连续且可导，若曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为   V(t)=[t2f(t)—f(1)]，且f(2)=，求函数y=f(x)的表达式．
选项
答案由旋转体的体积公式得V(t)=[*] 由已知条件得[*][t2f(t)一f(1)]，即[*]=t2f(t)一f(1)， 等式两边对t求导得3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)， 于是有x2y’=3y2一2xy，变形得[*] 令[*]=3u(u一1)，分离变量并两边积分得[*]=Cx3，即y—x=Cx3y， 由f(2)=[*]得C=一1，故f(x)=[*]
解析
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考研数学二

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