2. 考研
  3. 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．

设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．

admin2016-10-20  53
问题 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程(    )的通解．
选项 A、y’’-2y’+5y=4cosx-2sinx
B、y’’-2y’+5y=4sinx-2cosx
C、y’’-5y’+2y=4cosx-2sinx
D、y’’-5y’+2y=4sinx-2cosx
答案B
解析 由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，excos2x与exsin2x是二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0两个线性无关的特解．从而特征方程λ2+aλ+b=0的两个特征根应分别是λ1=1+2i，λ2=1-2i，由此可得λ2+aλ+b=(λ-1-2i)(λ-1+2i)=(λ-1)2-(2i)2=
λ2-2λ+1+4=λ2-2λ+5，即a=-2，b=5．
    由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知sinx应是非齐次方程y’’-2y’+5y=f(x)的一个特解，
故    f(x)=(sinx)’’-2(sinx)’+5sinx=4sinx-2cosx．
    综合即得所求方程为y’’-2y’+5y=4sinx-2cosx．应选(B)．
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考研数学三

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