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设f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使f"(ξ)=f(ξ).
设f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使f"(ξ)=f(ξ).
admin
2022-06-30
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问题
设f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使f"(ξ)=f(ξ).
选项
答案
令φ(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)], φ(0)=φ(1)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e
-x
[f"(x)-f(x)]且e
-x
≠0,故f"(ξ)=f(ξ).
解析
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考研数学二
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