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若f’’(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
若f’’(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
admin
2020-03-01
25
问题
若f’’(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x
2
+y
2
=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
选项
A、有极值点,无零点.
B、无极值点,有零点.
C、有极值点,有零点.
D、无极值点,无零点.
答案
B
解析
根据题意,f(x)是一个凸函数,因此f’’(x)<0,在点(1,1)处的曲率
,而f’(1)=一1,由此可得f’’(1)=一2.在闭区间[1,2]上,f’(x)≤f’(1)=一1<0,即f(x)单调减少,没有极值点.根据拉格朗日中值定理,对于f(2)一f(1)=f’(ζ)<一1,ζ∈(1,2),则f(2)<0,而f(1)=1>0.由零点定理知,在[1,2]上f(x)有零点.故应选B.
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考研数学二
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