2. 考研
  3. 设f(x)在[0，a](a＞0)上有二阶连续导数．且f(x)≥0，f(0)=0．f”(x)＞0，为平面区域D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤f(x)}的形心坐标，证明：

设f(x)在[0，a](a＞0)上有二阶连续导数．且f(x)≥0，f(0)=0．f”(x)＞0，为平面区域D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤f(x)}的形心坐标，证明：

admin2023-01-04  22
问题 设f(x)在[0，a](a＞0)上有二阶连续导数．且f(x)≥0，f(0)=0．f”(x)＞0，为平面区域D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤f(x)}的形心坐标，证明：
选项
答案由已知，要证 [*] 即证∫0axf(x)dx＞[*]a∫0af(x)dx，只需证 ∫0a(x-[*]a)f(x)dx＞0． 令F(x)=∫0x(t-[*]x)f(t)dt，x≥0，则F(0)=0，故只要证F(a)＞0． [*] 由f”(x)＞0，知f’(x)单调增加，故f’(x)＞f’(ξ)，因此 F”(x)≥0，F’(x)≥F’(0)=0， 又由F(0)=0，知F(x)≥0，故F(a)＞0．
解析
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考研数学一

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