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设f(x)在[0,a](a>0)上有二阶连续导数.且f(x)≥0,f(0)=0.f”(x)>0,为平面区域D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤f(x)}的形心坐标,证明:
设f(x)在[0,a](a>0)上有二阶连续导数.且f(x)≥0,f(0)=0.f”(x)>0,为平面区域D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤f(x)}的形心坐标,证明:
admin
2023-01-04
16
问题
设f(x)在[0,a](a>0)上有二阶连续导数.且f(x)≥0,f(0)=0.f”(x)>0,
为平面区域D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤f(x)}的形心坐标,证明:
选项
答案
由已知,要证 [*] 即证∫
0
a
xf(x)dx>[*]a∫
0
a
f(x)dx,只需证 ∫
0
a
(x-[*]a)f(x)dx>0. 令F(x)=∫
0
x
(t-[*]x)f(t)dt,x≥0,则F(0)=0,故只要证F(a)>0. [*] 由f”(x)>0,知f’(x)单调增加,故f’(x)>f’(ξ),因此 F”(x)≥0,F’(x)≥F’(0)=0, 又由F(0)=0,知F(x)≥0,故F(a)>0.
解析
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0
考研数学一
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