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3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于1的特征向量.记B=A5-4A3+E. (1)求B的特征值和特征向量. (2)求B.
3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于1的特征向量.记B=A5-4A3+E. (1)求B的特征值和特征向量. (2)求B.
admin
2018-04-18
57
问题
3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2,α
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于1的特征向量.记B=A
5
-4A
3
+E.
(1)求B的特征值和特征向量.
(2)求B.
选项
答案
(1)记f(χ)=χ
5
+4χ
3
+1,则B的特征值为f(1)=-2,f(2)=1,f(-2)=1. α
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于1的特征向量,则它也是B的特征向量,特征值-2. B的属于-2的特征向量为cα
1
,c≠0. B也是实对称矩阵,因此B的属于特征值1的特征向量是与α
1
正交的非零向量,即是χ
1
-χ
2
+χ
3
=0的非零解.求出此方程的基础解系α
2
=(1,1,0)
T
,α
3
=(0,1,1)
T
,B的属于特征值1的特征向量为 c
1
α
2
+c
2
α
3
,c
1
,c
2
不全为0. (2)B(α
1
,α
2
,α
3
)=(-2α
1
,α
2
,α
3
).解此矩阵方程求出B: ((α
1
,α
2
,α
3
)
T
|(-2α
1
,α
2
,α
3
)
T
)=[*] 得B=[*]
解析
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考研数学二
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