3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，－2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于1的特征向量．记B＝A5－4A3＋E． (1)求B的特征值和特征向量． (2)求B．

admin2018-04-18 48

问题 3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，－2，α₁＝(1，－1，1)^T是A的属于1的特征向量．记B＝A⁵－4A³＋E．
(1)求B的特征值和特征向量．
(2)求B．

选项

答案(1)记f(χ)＝χ⁵＋4χ³＋1，则B的特征值为f(1)＝－2，f(2)＝1，f(－2)＝1． α₁＝(1，－1，1)^T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值－2． B的属于－2的特征向量为cα₁，c≠0． B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α₁正交的非零向量，即是χ₁－χ₂＋χ₃＝0的非零解．求出此方程的基础解系α₂＝(1，1，0)^T，α₃＝(0，1，1)^T，B的属于特征值1的特征向量为 c₁α₂＋c₂α₃，c₁，c₂不全为0． (2)B(α₁，α₂，α₃)＝(－2α₁，α₂，α₃)．解此矩阵方程求出B： ((α₁，α₂，α₃)^T｜(－2α₁，α₂，α₃)^T)＝[*] 得B＝[*]

解析

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考研数学二

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3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，－2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于1的特征向量．记B＝A5－4A3＋E． (1)求B的特征值和特征向量． (2)求B．

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