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设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(~∞,+∞),y∈(一∞,+∞),成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,且f’(0)存在等于a,a≠0,则f(x)= ____________.
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(~∞,+∞),y∈(一∞,+∞),成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,且f’(0)存在等于a,a≠0,则f(x)= ____________.
admin
2016-06-25
44
问题
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(~∞,+∞),y∈(一∞,+∞),成立f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,且f’(0)存在等于a,a≠0,则f(x)= ____________.
选项
答案
axe
x
解析
由f’(0)存在,设法去证对一切x,f’(x)存在,并求出f(x).
将y=0代入f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,得
f(x)=f(x)+f(0)e
x
,
所以f(0)=0.
令△x→0,得
f’(x)=f(x)+e
x
f’(0)=f(x)+ae
x
,
所以f’(x)存在.解此一阶微分方程,得
f(x)=e
x
(∫ae
x
.e
一x
dx+C)=e
x
(ax+C).
因f(0)=0,所以C=0,从而得f(x)=axe
x
.
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