设du=(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy，求u(x，y)的表达式．

admin2023-03-22 30

问题设du=(3x²y+8xy²)dx+(x³+8x²y+12ye^y)dy，求u(x，y)的表达式．

选项

答案解法1 设P=3x²y+8xy²，Q=x³+8x²y+12ye^y，则 [*]=3x²+16xy=[*] 所以积分与路径无关，从而 u(x，y)=∫_(0，0)^(x，y)(3x²y+8xy²)dx+(x³+8x²y+12ye^y)dy+C₁ =∫₀^x0dx+∫₀^y(x³+8x²y+12ye^y)dy+C₁ =x³y+4x²y²+12e^y(y-1)+C (C=12+C₁)．解法2 由[*]=P=3x²y+8xy²，把y看作不变的，对x积分得 u(x，y)=x³y+4x²y²+φ(y)．而 [*]=Q=x³+8x²y+12ye^y=x³+8x²y+φ’(y)，故有φ’(y)=12ye^y，从而 φ(y)=∫12ye^ydy=12e^y(y-1)+C，所以 u(x，y)=x³y+4x²y²+12e^y(y-1)+C．

解析

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考研数学一

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