设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若矩阵AB可逆，则下列说法中正确的是( )

admin2019-12-24 71

问题设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若矩阵AB可逆，则下列说法中正确的是( )

选项 A、A的行向量组线性无关，B的行向量组也线性无关。
B、A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关。
C、A的列向量组线性无关，B的行向量组线性无关。
D、A的列向量组线性无关，B的列向量组也线性无关。

答案B

解析由矩阵AB可逆，可知r(AB)＝m，而r(A)≥r(AB)，r(B)≥r(AB)，且有r(A)≤m，r(B)≤m，可知r(A)＝r(B)＝m。因此，矩阵A行满秩，矩阵B列满秩，即A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关。
本题考查矩阵的秩的比较，用到的矩阵秩的相关性质包括r(A＋B)≤r(A)＋r(B)，r(AB)≤min｛r(A)，r(B)｝。

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