设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,若矩阵AB可逆,则下列说法中正确的是( )

admin2019-12-24  50

问题 设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,若矩阵AB可逆,则下列说法中正确的是(      )

选项 A、A的行向量组线性无关,B的行向量组也线性无关。
B、A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关。
C、A的列向量组线性无关,B的行向量组线性无关。
D、A的列向量组线性无关,B的列向量组也线性无关。

答案B

解析 由矩阵AB可逆,可知r(AB)=m,而r(A)≥r(AB),r(B)≥r(AB),且有r(A)≤m,r(B)≤m,可知r(A)=r(B)=m。因此,矩阵A行满秩,矩阵B列满秩,即A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关。
本题考查矩阵的秩的比较,用到的矩阵秩的相关性质包括r(A+B)≤r(A)+r(B),r(AB)≤min{r(A),r(B)}。
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