设总体X服从正态分布N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，σ＞0为参数． (Ⅰ)求σ2的最大似然估计量； (Ⅱ)若n＝2m，记，试利用最大似然估计量求相关系数ρUV．

admin2020-12-17 73

问题设总体X服从正态分布N(0，σ²)，X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的简单随机样本，σ＞0为参数．
(Ⅰ)求σ²的最大似然估计量；
(Ⅱ)若n＝2m，记

，试利用最大似然估计量求相关系数ρUV．

选项

答案(Ⅰ)由已知条件知，总体X的概率密度为[*] 样本的似然函数为[*] 等式两边取对数，得[*] 令[*] 得[*] 故σ²的最大似然估计量为[*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知，X～N(0，[*])，于是 E(U)＝E(V)＝0，D(U)＝D(V)＝(m＋1)[*]．又因为当i≠j时，Cov(X_i，X_j)＝0；当i＝j时，Cov(X_i，X_j)＝D(X_i)＝[*]．所以[*] 故[*]

解析

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考研数学三

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设总体X服从正态分布N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，σ＞0为参数． (Ⅰ)求σ2的最大似然估计量； (Ⅱ)若n＝2m，记，试利用最大似然估计量求相关系数ρUV．

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