2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解． (1)求A的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解． (1)求A的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．

admin2021-01-19  103
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解．
    (1)求A的特征值与特征向量；
    (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．
选项
答案(1)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*]， 则由特征值和特征向量的定义知，λ＝3是矩阵A的特征值，α＝(1，1，1)T是对应的特征向量．对应λ＝3的全部特征向量为kα，其中k为不为零的常数． 又由题设知Aα1＝0，Aα2＝0，即Aα1＝0.α1，Aα2＝0.α2，而且α1，α2线性无关，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，对应λ＝0的全部特征向量为k1α1＋k1，k2其中k1，k2为不全为零的常数． (2)因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，所以只需将α1，α2正交． 取β1＝α1， [*]。 再将α，β1，β2单位化，得 [*] 令Q＝[η1，η2，η3]，则Q－1＝QT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得 [*]
解析 [分析]  由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法，可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组Ax＝0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是零特征值所对应的特征向量．将A的线性无关的特征向量止交化可得正交矩阵Q．
    [评注]本题涉及求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，因此要想方设法将题设条件转化为特征值与特征向量定义Ax＝λx的形式．
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考研数学二

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