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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. (1)求A的特征值与特征向量; (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. (1)求A的特征值与特征向量; (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.
admin
2021-01-19
103
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
=(-1,2,-1)
T
,α
2
=(0,-1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解.
(1)求A的特征值与特征向量;
(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=A.
选项
答案
(1)因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以 [*], 则由特征值和特征向量的定义知,λ=3是矩阵A的特征值,α=(1,1,1)
T
是对应的特征向量.对应λ=3的全部特征向量为kα,其中k为不为零的常数. 又由题设知Aα
1
=0,Aα
2
=0,即Aα
1
=0.α
1
,Aα
2
=0.α
2
,而且α
1
,α
2
线性无关,所以λ=0是矩阵A的二重特征值,α
1
,α
2
是其对应的特征向量,对应λ=0的全部特征向量为k
1
α
1
+k
1
,k
2
其中k
1
,k
2
为不全为零的常数. (2)因为A是实对称矩阵,所以α与α
1
,α
2
正交,所以只需将α
1
,α
2
正交. 取β
1
=α
1
, [*]。 再将α,β
1
,β
2
单位化,得 [*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q
-1
=Q
T
,由A是实对称矩阵必可相似对角化,得 [*]
解析
[分析] 由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法,可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组Ax=0有非零解可知A必有零特征值,其非零解是零特征值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量止交化可得正交矩阵Q.
[评注]本题涉及求抽象矩阵的特征值和特征向量,此类问题一般用定义求解,因此要想方设法将题设条件转化为特征值与特征向量定义Ax=λx的形式.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/l584777K
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考研数学二
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