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  3. 讨论曲线y＝2lnx与y＝2x＋ln2＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．

讨论曲线y＝2lnx与y＝2x＋ln2＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．

admin2017-08-18  35
问题 讨论曲线y＝2lnx与y＝2x＋ln2＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．
选项
答案令f(x)＝2x＋ln2＋k一2lnx(x∈(0，＋∞))，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数．由 [*] 令g(x)＝x＋lnx一1 [*] 令f’(x)＝0可解得唯一驻点x0＝1∈(0，＋∞)． 当0＜x＜1时f’(x)＜0，f(x)在(0，1]单调减少；而当x＞1时f’(x)＞0，f(x)在[1，＋∞)单调增加．于是f(1)＝2＋k为f(x)在(0，＋∞)内唯一的极小值点，且为(0，＋∞)上的最小值点．因此f(x)的零点个数与最小值f(1)＝2＋k的符号有关． 当f(1)＞0即k＞一2时f(x)在(0，＋∞)内恒为正值函数，无零点． 当f(1)＝0即k＝一2时f(x)在(0，＋∞)内只有一个零点x0＝1． 当f(1)＜0即k＜一2时需进一步考察f(x)在x→0＋与x→＋∞的极限： [*]f(x) ＝[*][2x＋k＋lnx(lnx一2)] ＝＋∞， [*]f(x)＝[*][(2x＋k)＋lnx(lnx一2)]＝＋∞， 由连续函数的零点定理可得，[*]x1∈(0，1)与x2∈(1，＋∞)使得f(x1)＝f(x2)＝0，且由f(x)在(0，1)与(1，＋∞)内单调可知f(x)在(0，1)内与(1，＋∞)内最多各有一个零点，所以当k＜一2时，f(x)在(0，＋∞)内恰有两个零点．
解析
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考研数学一

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