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设u=u(χ,t)有二阶连续偏导数,并满足 其中a>0为常数. (Ⅰ)作自变量代换ξ=χ-at,η=χ+at(),导出u对χ与y的一、二阶偏导数与u对ξ,η的一、二阶偏导数的关系式; (Ⅱ)导出u作为ξ,η的函数的二阶偏导数所满足
设u=u(χ,t)有二阶连续偏导数,并满足 其中a>0为常数. (Ⅰ)作自变量代换ξ=χ-at,η=χ+at(),导出u对χ与y的一、二阶偏导数与u对ξ,η的一、二阶偏导数的关系式; (Ⅱ)导出u作为ξ,η的函数的二阶偏导数所满足
admin
2018-06-12
87
问题
设u=u(χ,t)有二阶连续偏导数,并满足
其中a>0为常数.
(Ⅰ)作自变量代换ξ=χ-at,η=χ+at(
),导出u对χ与y的一、二阶偏导数与u对ξ,η的一、二阶偏导数的关系式;
(Ⅱ)导出u作为ξ,η的函数的二阶偏导数所满足的方程;
(Ⅲ)求u(χ,t).
选项
答案
(Ⅰ)由复合函数求导法得 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)中的①,②式得 [*] (Ⅲ)把③式写成[*]=0,即[*]与η无关,[*]=h(ξ),h(ξ)是连续可微的任意函数,再对ξ积分一次,并注意到积分常数可依赖η,于是将u=f(ξ)+g(η),回到变量χ,t得 u(χ,t)=f(χ-at)+g(χ+at), 其中f(ξ),g(η)是二次连续可微的任意函数.
解析
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考研数学一
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