2. 考研
  3. 设u＝u(χ，t)有二阶连续偏导数，并满足 其中a＞0为常数． (Ⅰ)作自变量代换ξ＝χ－at，η＝χ＋at()，导出u对χ与y的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式； (Ⅱ)导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足

设u＝u(χ，t)有二阶连续偏导数，并满足 其中a＞0为常数． (Ⅰ)作自变量代换ξ＝χ－at，η＝χ＋at()，导出u对χ与y的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式； (Ⅱ)导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足

admin2018-06-12  49
问题 设u＝u(χ，t)有二阶连续偏导数，并满足

    其中a＞0为常数．
    (Ⅰ)作自变量代换ξ＝χ－at，η＝χ＋at()，导出u对χ与y的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式；
    (Ⅱ)导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程；
    (Ⅲ)求u(χ，t)．
选项
答案(Ⅰ)由复合函数求导法得 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)中的①，②式得 [*] (Ⅲ)把③式写成[*]＝0，即[*]与η无关，[*]＝h(ξ)，h(ξ)是连续可微的任意函数，再对ξ积分一次，并注意到积分常数可依赖η，于是将u＝f(ξ)＋g(η)，回到变量χ，t得 u(χ，t)＝f(χ－at)＋g(χ＋at)， 其中f(ξ)，g(η)是二次连续可微的任意函数．
解析
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考研数学一

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