已知三阶矩阵A的第一行是（a，b，c），a，b，c不全为零，矩阵B=（k为常数），且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

admin2017-01-21 62

问题已知三阶矩阵A的第一行是（a，b，c），a，b，c不全为零，矩阵B=

（k为常数），且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

选项

答案由AB=0知，B的每一列均是Ax=0的解，且r（A）+r（B）≤3。（1）若k≠9，则r（B）=2，于是r（A）≤1，显然r（A）≥1，故r（A）=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3–r（A）=2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：x=k₁（1，2，3）^T+k₂（3，6，3）^T，k₁，k₂为任意常数。（2）若k=9，则r（B）=1，从而1≤r（A）≤2。 ①若r（A）=2，则Ax=0的通解为：x=k．（1，2，3）^T，k₁为任意常数。 ②若r（A）=1，则Ax=0的同解方程组为：ax₁+bx₂+cx₃=0，不妨设a≠0，则其通解为 [*]k₁，k₂为任意常数。

解析

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考研数学三

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