设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，其反函数为g(x)，若∫xr+f(x)g(t—x)dt=x2ln(1+x)．求f(x)．

admin2021-07-05 41

问题设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，其反函数为g(x)，若∫_x^r+f(x)g(t—x)dt=x²ln(1+x)．求f(x)．

选项

答案令t—x=u,则dt=du,于是 [*] 将等式∫₀^f(x)g(u)du=x²ln(1+x)两边对x 求导,同时注意到g[f(x)]=x,于是有 [*] 当x≠0时,有 [*] 对上式两端积分,得到 [*] 可知[*]=C,由于f(x)在x=0处连续,又f(0)=0,解得C=0,于是 f(x)=ln(1+x)+2ln(1+x)—x+C.

解析

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