设αi=(αi1，αi2，...,αin)T (i=1，2，…，r；r

admin2019-05-11 54

问题设α_i=(α_i1，α_i2，...,α_in)^T (i=1，2，…，r；r1，α₂，...,α_n
线性无关．已知β=(b₁，b₂，...,b_n)^T是线性方程组

的非零解向量．试判断向量组α₁，α₂，...,α_r,β的线性相关性．

选项

答案设k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+1β=0，因为β为方程组的非0解，有 [*] 即β≠0，β^Tα₁=0，…，β^Tα_r=0．用β^T左乘，并把β^Tα_i=0代入，得lβ^Tβ=0．因为β≠0，有β^Tβ>0，故必有l=0．从而式为k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0，由于α₁，α₂，...,α_r线性无关，所以有 k₁=k₂=...=k_r=0 因此向量组α₁，α₂，...,α_r,β线性无关．

解析

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