已知函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)－0，f(1)＝1．证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．

admin2017-11-09 79

问题已知函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)－0，f(1)＝1．
证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．

选项

答案(Ⅰ)令g(χ)＝f(χ)＋χ－1，则g(χ)在[0，1]上连续，且g(0)＝－1＜0，g(1)＝1＞0，由零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得g(ξ)＝0，即f(ξ)＋ξ－1＝0，从而有f(ξ)＝1－ξ． (Ⅱ)因f(χ)在[0，ξ]，[ξ，1]上连续，在(0，ξ)，(ξ，1)上可导，f(χ)在[0，ξ]和[ξ，1]上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得 [*] 则f′(η)f′(ζ)＝[*]＝1．

解析

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考研数学三

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已知函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)－0，f(1)＝1．证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．

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微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=________．

已知n阶矩阵求|A|中元素的代数余子式之和，第i行元素的代数余子式之和，i=1，2，…，n及主对角元的代数余子式之和

证明：n＞3的非零实方阵A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则A是正交矩阵．

某人在意外事故中脊髓损伤，丧失横断面以下的一切躯体与内脏反射活动，但数周后屈肌反射、腱反射等较简单的反射开始逐渐恢复，这表明该患者在受伤当时出现了()。

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