已知函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)-0,f(1)=1. 证明:(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f′(η)f′(ζ)=1.

admin2017-11-09  53

问题 已知函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)-0,f(1)=1.
    证明:(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ;
    (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f′(η)f′(ζ)=1.

选项

答案(Ⅰ)令g(χ)=f(χ)+χ-1,则g(χ)在[0,1]上连续,且g(0)=-1<0,g(1)=1>0,由零点定理知,存在ξ∈(0,1),使得g(ξ)=0,即f(ξ)+ξ-1=0,从而有f(ξ)=1-ξ. (Ⅱ)因f(χ)在[0,ξ],[ξ,1]上连续,在(0,ξ),(ξ,1)上可导,f(χ)在[0,ξ]和[ξ,1]上均满足拉格朗日中值定理的条件,应用拉格朗日中值定理可知,存在η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使得 [*] 则f′(η)f′(ζ)=[*]=1.

解析
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