2. 考研
  3. 已知函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)－0，f(1)＝1． 证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．

已知函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)－0，f(1)＝1． 证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．

admin2017-11-09  85
问题 已知函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)－0，f(1)＝1．
    证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ；
    (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．
选项
答案(Ⅰ)令g(χ)＝f(χ)＋χ－1，则g(χ)在[0，1]上连续，且g(0)＝－1＜0，g(1)＝1＞0，由零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得g(ξ)＝0，即f(ξ)＋ξ－1＝0，从而有f(ξ)＝1－ξ． (Ⅱ)因f(χ)在[0，ξ]，[ξ，1]上连续，在(0，ξ)，(ξ，1)上可导，f(χ)在[0，ξ]和[ξ，1]上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得 [*] 则f′(η)f′(ζ)＝[*]＝1．
解析
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考研数学三

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