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  3. 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数． 若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解．

已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数． 若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解．

admin2022-09-08  47
问题 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．
若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解．
选项
答案设y(x)为方程的任意解，则y’(x+T)+y(x+T)=f(x+T)． 　　 而f(x)周期为T，有f(x+T)=f(x)． 　　 又y’(x)+y(x)=f(x)， 　　 故y’(x+T)+y(x+T)-y’(x)-Y(x)=0，有{ex[y(x+T)-y(x)]}’=0， 　　 即 ex[y(x+T)-y(x)]=C． 　　 取C=0得y(x+T)-y(x)=0，则y(x)为唯一以T为周期的解．
解析
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考研数学一

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