设D为单位圆x2+y2≤I1=(x3+y3)dxdy，I2=(x4+y4)dxdy，I3=(2x6+y5)dxdy，则( )

admin2019-03-11 50

问题设D为单位圆x²+y²≤I₁=

(x³+y³)dxdy，I₂=

(x⁴+y⁴)dxdy，I₃=

(2x⁶+y⁵)dxdy，则( )

选项 A、I₁＜I₂＜I₃。
B、I₃＜I₁＜I₂。
C、I₃＜I₂＜I₁。
D、I₁＜I₃＜I₂。

答案D

解析由于积分域D关于两个坐标轴都对称，而x³是x的奇函数，y³是y的奇函数，则
I₁=

(x³+y³)dxdy=0，

y³dxdy=0，
积分区域D关于直线y=x对称，从而由轮换对称性可得
I₃=2

x⁶dxdy=

(x⁶+y⁶)dxdy，
由于在D内|x|≤1，|y|≤1，则x⁶+y⁶≤x⁴+y⁴，则0＜

(x⁶+y⁶)dxdy＜

(x⁴+y⁴)dxdy，从而有，I₁＜I₃＜I₂，故选D。

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