设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3。如果A3β=Aβ，求秩r(A-E)及行列式|A+2E|。

admin2017-01-16 69

问题设A为三阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃。
如果A³β=Aβ，求秩r(A-E)及行列式|A+2E|。

选项

答案根据A³β=Aβ可得 A(β，Aβ，A²β)=(Aβ，A²β，A³β)=(Aβ，A²β，Aβ)=(β，Aβ，A²β)[*] 令P=(β，Aβ，A²β)，则矩阵P是可逆的，P^-1AP=[*]=B，根据相似矩阵的秩及行列式相等，有 r(A-E)=r(B-E)=r([*])=2， |A+2E|=|B+2E|=[*]=6。

解析

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