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  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

admin2019-09-27  56
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．
选项
答案由∫0xtf(2x－t)dt[*]∫2xx(2x－u)f(u)(－du) =∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du， 得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=[*]arctanx2，等式两边对x求导，得 2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=[*]，整理得 2∫x2xf(u)du－xf(x)=[*]， 取x=1，得2∫12f(u)du－f(1)=[*]，故∫12f(x)dx=[*]．
解析
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考研数学一

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