已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解是( )

admin2020-03-24  45

问题 已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解是(    )

选项 A、k1α1+k212)+
B、k1α1+k21一α2)+
C、k1α1+k212)+
D、k1α1+k21—β2)+

答案B

解析 对于选项A、C,因为
(Aβ1一Aβ2)=(b一b)=0,
所以A、C两项中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解,故均不正确。
    对于选项D,虽然β1一β2是齐次线性方程组Ax=0的解,但它与α1不一定线性无关,故D项也不正确。
    对于选项B,由于α1,α1一α2与α1,α2等价(显然它们能够互相线性表示),故α1,α1一α2也是齐次线性方程组的一组基础解系,而由
(Aβ1+Aβ2)=(b+b)=b
可知是齐次线性方程组Ax=b的一个特解,由非齐次线性方程组的通解结构定理知,B选项正确,故选B。
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