已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是( )

admin2020-03-24 67

问题已知β₁，β₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α₁，α₂是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k₁，k₂为任意常数，则方程组Ax=b的通解是( )

选项 A、k₁α₁+k₂(α₁+α₂)+

B、k₁α₁+k₂(α₁一α₂)+

C、k₁α₁+k₂(β₁+β₂)+

D、k₁α₁+k₂(β₁—β₂)+

答案B

解析对于选项A、C，因为

(Aβ₁一Aβ₂)=

(b一b)=0，
所以A、C两项中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确。
对于选项D，虽然β₁一β₂是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α₁不一定线性无关，故D项也不正确。
对于选项B，由于α₁，α₁一α₂与α₁，α₂等价(显然它们能够互相线性表示)，故α₁，α₁一α₂也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由

(Aβ₁+Aβ₂)=

(b+b)=b
可知

是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确，故选B。

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考研数学三

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