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设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.
设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.
admin
2021-11-09
27
问题
设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.
选项
答案
首先,方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解. 令r(B)=r且ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-1
是方程组BX=0的基础解系,现设方程组ABX=0有一个解η
0
不是方程组BX=0的解,即Bη
0
≠0,显然ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,η
0
线性无关,若ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
…,η
0
线性相关,则存在不全为零的常数k
1
,k
2
,…,k
n-r
,k
0
,使得k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
+k
0
ξ
0
=0, 若k
0
=0,则k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,因为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关, 所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0,从而ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,η
0
线性无关,所以k
0
≠0,故η
0
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,线性表示,由齐次线性方程组解的结构,有Bη
0
=0,矛盾,所以ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,η
0
线性无关,且为方程组ABX=0的解,从而n-r(AB)≥n-r+1,r(AB)≤r-1,这与r(B)=r(AB)矛盾,故方程组BX=0与ABX=0同解.
解析
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