设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.

admin2021-11-09  27

问题 设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.

选项

答案首先,方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解. 令r(B)=r且ξ1,ξ2,…,ξn-1是方程组BX=0的基础解系,现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解,即Bη0≠0,显然ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0线性无关,若ξ1,ξ2,…,ξn-r…,η0线性相关,则存在不全为零的常数k1,k2,…,kn-r,k0,使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+k0ξ0=0, 若k0=0,则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0,因为ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关, 所以k1=k2=…=kn-r=0,从而ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0线性无关,所以k0≠0,故η0可由ξ1,ξ2,…,ξn-r,线性表示,由齐次线性方程组解的结构,有Bη0=0,矛盾,所以ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0线性无关,且为方程组ABX=0的解,从而n-r(AB)≥n-r+1,r(AB)≤r-1,这与r(B)=r(AB)矛盾,故方程组BX=0与ABX=0同解.

解析
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