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设f(χ)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得f〞(ξ)-2f′(ξ)+2=0.
设f(χ)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得f〞(ξ)-2f′(ξ)+2=0.
admin
2019-08-23
70
问题
设f(χ)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且
=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得f〞(ξ)-2f′(ξ)+2=0.
选项
答案
由[*]=1得f(0)=0,f′(0)=1, 由拉格朗日中值定理,存在c∈(0,1),使得f′(c)=[*]=1, 令φ(χ)=e
-2χ
[f′(χ)-1], 由f′(0)=f′(c)=1得φ(0)=φ(c)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)[*](0,1),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=-2e
-2χ
[f′(χ)-1]+e
-2χ
f〞(χ)=e
-2χ
[f〞(χ)-2f′(χ)+2], 因为e
-2χ
≠0,所以f〞(ξ)-2f′(ξ)+2=0.
解析
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考研数学二
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