设f(χ)在[0，1]上二阶可导，f(1)＝1，且＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＋2＝0．

admin2019-08-23 79

问题设f(χ)在[0，1]上二阶可导，f(1)＝1，且

＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＋2＝0．

选项

答案由[*]＝1得f(0)＝0，f′(0)＝1，由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得f′(c)＝[*]＝1，令φ(χ)＝e^－2χ[f′(χ)－1]，由f′(0)＝f′(c)＝1得φ(0)＝φ(c)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝－2e^－2χ[f′(χ)－1]＋e^－2χf〞(χ)＝e^－2χ[f〞(χ)－2f′(χ)＋2]，因为e^－2χ≠0，所以f〞(ξ)－2f′(ξ)＋2＝0．

解析

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考研数学二

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