设y1(x)=x(1—2x)，y2(x)=2x(1一x)，y3(x)=x(ex一2x)是微分方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个解，其中p(x)，q(x)，f(x)是(0，+∞)上的连续函数，求此微分方程及其通解．

admin2021-08-05 53

问题设y₁(x)=x(1—2x)，y₂(x)=2x(1一x)，y₃(x)=x(e_x一2x)是微分方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个解，其中p(x)，q(x)，f(x)是(0，+∞)上的连续函数，求此微分方程及其通解．

选项

答案注意到y₁(x)，y₂(x)，y₃(x)的表达式中都有一2x²项，所以把它们每两个相减，得到 y₂(x)一y₁(x)=x，y₃(x)一y₁(x)=x(e^x一1)是对应齐次方程的解，代入方程可解得 [*] 再将y₁(x)，p(x)，q(x)一并代入原方程，可解得f(x)=2x．所以原方程为 [*] 根据齐次方程的解的性质，可知(y₂(x)一y₁(x))+(y₃(x)一y₁(x))=xe^x也是齐次方程的解，且x，xe^x线性无关，因此Y=C₁x+C₂xe^x是齐次方程的通解．另一方面，仍由方程的解的性质可知，y^*=2y₁(x)一y₂(x)=一2x²是原方程的一个特解，因此原方程的通解为 y=C₁x+C₂xe^x一2x²，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学二

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设y1(x)=x(1—2x)，y2(x)=2x(1一x)，y3(x)=x(ex一2x)是微分方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个解，其中p(x)，q(x)，f(x)是(0，+∞)上的连续函数，求此微分方程及其通解．

考研数学二

设X是一随机变量，且E(X)=u，D(X)=σ(μ，σ>0为常数)，则对于任意常数C，必有()

若曲线y＝χ2＋aχ＋b与曲线2y＝－1＋χy2在(1，－1)处相切，则()．

累次积分f(rcosθ.rsinθ)rdr可写成【】

设函数y=y(x)由参数方程所确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是()

将曲线y＝1－x2(0≤x≤1)和x轴与y轴所围的区域用曲线y＝ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，求a的值．

求下列极限：

若[x]表示不超过x的最大整数，则积分的值为()

设连续函数z=f(x，y)满足则出dz|(0.1)=__________。

设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1．证明对任意的x∈(0，＋∞)，f’(x)存在，并求f’(x)；

则出=_________．

患儿女，7岁。上中切牙之间间隙达4～5mm，最不可能的原因是

燃具与燃气管道宜采用硬管连接，燃气用软管应采用(　　)橡胶管。

常用的市场风险限额包括()。

国家旅游局制定的旅游安全管理暂行办法第五条规定，旅游安全管理的原则是()。

在实际的教学过程中，教师通常会在一门课程结束后进行考试或测验，以评价学生对知识和技能的掌握程度。这种评价方式被称为()。

下列选项中，有权制定地方性法规的是()。

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：|f’(x)|≤1／2(x∈[0，1])．

ScientistshavelongbeeninterestedinhowthedeafprocesssignedlanguagesinthebraiaUnderstandingthatactivitycouldsh

A、Heispraisedbyhisteacher.B、Hegetsapayrise.C、Heispromoted.D、Hegetsanewbook.C对话中，女士对男士的晋升表示祝贺，男士对此表示感谢，并说自己感觉压

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设X是一随机变量，且E(X)=u，D(X)=σ(μ，σ>0为常数)，则对于任意常数C，必有()

若曲线y＝χ2＋aχ＋b与曲线2y＝－1＋χy2在(1，－1)处相切，则()．

累次积分f(rcosθ.rsinθ)rdr可写成【】

设函数y=y(x)由参数方程所确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是()

将曲线y＝1－x2(0≤x≤1)和x轴与y轴所围的区域用曲线y＝ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，求a的值．

求下列极限：

若[x]表示不超过x的最大整数，则积分的值为()

设连续函数z=f(x，y)满足则出dz|(0.1)=__________。

设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1．证明对任意的x∈(0，＋∞)，f’(x)存在，并求f’(x)；

则出=_________．

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燃具与燃气管道宜采用硬管连接，燃气用软管应采用( )橡胶管。

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下列选项中，有权制定地方性法规的是()。

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：|f’(x)|≤1／2(x∈[0，1])．

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