2. 考研
  3. 设y1(x)=x(1—2x)，y2(x)=2x(1一x)，y3(x)=x(ex一2x)是微分方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个解，其中p(x)，q(x)，f(x)是(0，+∞)上的连续函数，求此微分方程及其通解．

设y1(x)=x(1—2x)，y2(x)=2x(1一x)，y3(x)=x(ex一2x)是微分方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个解，其中p(x)，q(x)，f(x)是(0，+∞)上的连续函数，求此微分方程及其通解．

admin2021-08-05  49
问题 设y1(x)=x(1—2x)，y2(x)=2x(1一x)，y3(x)=x(ex一2x)是微分方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个解，其中p(x)，q(x)，f(x)是(0，+∞)上的连续函数，求此微分方程及其通解．
选项
答案注意到y1(x)，y2(x)，y3(x)的表达式中都有一2x2项，所以把它们每两个相减，得到 y2(x)一y1(x)=x，y3(x)一y1(x)=x(ex一1)是对应齐次方程的解，代入方程可解得 [*] 再将y1(x)，p(x)，q(x)一并代入原方程，可解得f(x)=2x．所以原方程为 [*] 根据齐次方程的解的性质，可知(y2(x)一y1(x))+(y3(x)一y1(x))=xex也是齐次方程的解，且x，xex线性无关，因此Y=C1x+C2xex是齐次方程的通解． 另一方面，仍由方程的解的性质可知，y*=2y1(x)一y2(x)=一2x2是原方程的一个特解，因此原方程的通解为 y=C1x+C2xex一2x2，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学二

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