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  3. 罗尔定理：设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。

罗尔定理：设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。

admin2017-09-18  35
问题 罗尔定理：设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。
选项
答案因f(x)在闭区间[a，b]上连续，所以在[a，b]上一定取到最大值M和最小值m。 (1)若M=m，则f(x)在[a，b]上是常数，f(x)=M，x∈[a，b]。从而f’(x)=0，因此，任取ο∈(a，b)都有f’(ξ)=0。 (2)若M≠m，则M，m中至少有一个不等于f(a)，不妨设f(a)≠M。因此，函数f(x)在内(a，b)某一点ξ处取到最大值M。我们来证f’(ξ)=0。 由于f(x)在ξ处取最大值，所以不论△x为正或为负，总有f(ξ+△x)一f(ξ)≤0。当△x＞0时，[*] 根据题意f(x)在ξ点处可导，所以f’(ξ)=f’+(ξ)=f’一(ξ)=0。得证。 几何意义：设y=f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧AB上至少有一点C(ξ，f’(ξ))，曲线在C点有水平切线。 [*]
解析
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