(1)若A可逆且A～B，证明：A～B； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

admin2018-05-22 38

问题 (1)若A可逆且A～B，证明：A^*～B^*；
(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

选项

答案(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，而A^*=A｜A^-1，B^*=｜B｜B^-1，于是由P^-1AP=B，得(P^-1AP)^-1=B^-1，即P^-1A^-1P=B^-1，故P^-1｜A｜A^-1P=｜A｜B^-1或P^-1A^*P=B^*，于是A^*～B^*． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P^-1AP=B，即AP=PB. 于是AP=PBPP^-1=P(BP)P^-1，故AP～BP.

解析

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