(2001年)已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)且求函数项级数的和。

admin2021-01-25 50

问题 (2001年)已知f_n(x)满足f_n’(x)=f_n(x)+x^n-1e^x(n为正整数)且

求函数项级数

的和。

选项

答案由已知条件可知f_n’(x)一f_n(x)=x^n-1e^x，这是以f_n(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中p(x)=一1，q(x)=x^n-1e^x，代入通解公式 f(x)=e^-∫p(x)dx(∫q(x)e^∫p(x)dx+C)，得其通解为 [*] 记[*]．收敛区间为(一1，1)。当x∈(一1，1)时，根据幂级数的性质，可以逐项求导， [*] 故根据函数积分和求导的关系∫f’(x)dx=f(x)+C，得∫₀^xS’(x)dx=S(x)|₀^x=S(x)一S(0)， [*] 当x=一1时，[*]级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到x=一1处，即 [*]

解析

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