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(2001年)已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)且求函数项级数的和。
(2001年)已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)且求函数项级数的和。
admin
2021-01-25
90
问题
(2001年)已知f
n
(x)满足f
n
’(x)=f
n
(x)+x
n-1
e
x
(n为正整数)且
求函数项级数
的和。
选项
答案
由已知条件可知f
n
’(x)一f
n
(x)=x
n-1
e
x
,这是以f
n
(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程,其中p(x)=一1,q(x)=x
n-1
e
x
,代入通解公式 f(x)=e
-∫p(x)dx
(∫q(x)e
∫p(x)dx
+C), 得其通解为 [*] 记[*].收 敛区间为(一1,1)。当x∈(一1,1)时,根据幂级数的性质,可以逐项求导, [*] 故根据函数积分和求导的关系∫f’(x)dx=f(x)+C,得∫
0
x
S’(x)dx=S(x)|
0
x
=S(x)一S(0), [*] 当x=一1时,[*]级数在此点处收敛,而右边函数连续,因此成立的范围可扩大到x=一1处,即 [*]
解析
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考研数学三
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