设曲线y＝a＋x－x3，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．

admin2017-12-31 76

问题设曲线y＝a＋x－x³，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．

选项

答案设曲线y＝a＋x－x³与x轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得－∫₀^a(a＋x－x³)dx＝∫_α^β(a＋x－x³)dx，移项得 ∫₀^a(a＋x－x³)dx＋∫_α^β(a＋x－x³)dx＝∫₀^β(a＋x－x³)dx[*]β(4a＋2β－β³)＝0，因为β＞0，所以4a＋2β－β³＝0．又因为(β，0)为曲线y＝a＋x－x³与x轴的交点，所以有 α＋β－β³＝0，从而有β＝－3a[*]．

解析

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考研数学三

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